Примеры решения пределов тригонометрических функций с ответами
Простое объяснение принципов решения пределов тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения пределов тригонометрических функций
Для тригонометрических функций существует много разных пределов, но как правило, все они вычисляются, опираясь на первый замечательный предел и его следствия.
Первый замечательный предел выглядит следующим образом:
Главным следствием первого замечательного предела считают:
Также следствиями являются:
Нужна помощь в написании работы?
Примеры решения пределов тригонометрических функций
Задание
Найти предел функции:
Решение
Заменим значение х на число, к которому стремится функция:
Так как мы пришли на неопределённость вида 0/0, преобразуем синус так, чтобы он стал вида первого замечательного предела:
Мы знаем, что первый замечательный предел равен единице, следовательно
Таким образом найдём предел функции:
Задание
Найти предел функции:
Решение
При замене х на число, к которому он стремится, снова получаем неопределённость
Данную задачу можно решить, применив правило Лопиталя.
Найдём производные числителя и знаменателя функции и решим задачу:
Задание
Найти предел функции:
Решение
При подстановке нуля получим неопределённость типа 0/0:
Преобразуем функцию и упростим её:
Вынесем константу ½ за лимит и, пользуюсь свойством первого замечательного предела, найдём передел данной функции:
Задание
Найти предел функции:
Решение
Если заменить x на число, придём к неопределённости 0/0:
Для решения данного примера применим правило Лопиталя и заменим х на число в производных:
Задание
Вычислить предел функции:
Решение
Для решения данного примера воспользуемся свойством разности косинусов:
Вынесем минус за лимит, дабы не потерять и продолжим решение. Для решения задачи приведём функцию к виду первого замечательного предела. Для этого нужно разделить дробь на множители и добавить в знаменатель коэффициент, равный коэффициенту в числителе. А потом упростим выражение:
Снова вынесем константы за лимит и получим вид первого замечательного предела, с помощью которого приходим к искомому решению:
Задание
Вычислить предел функции:
Решение
При подстановке х снова получаем неопределённость
Значит будем искать передел путём приведения к виду первого замечательного предела.
Представим тангенс в виде частного синуса х и косинуса х
Приведём к общему знаменателю и разделим выражение на множители следующим образом:
Мы видим первый замечательный предел, а значит, можем упростить до:
Далее снова приведём числитель к общему знаменателю:
Вновь разделим на множители и подставим значение х во второй косинус:
Таким образом нам остаётся разобраться с первым числителем. Поменяем местами 1 и косинус и вынесем минус за лимит.
Далее воспользуемся формулой понижения степени и найдём решение:
Задание
Вычислить предел функции:
Решение
При простом вычислении получаем неопределённость
Следовательно, будем вычислять предел, опираясь на правило первого замечательного предела. Приведём тангенс к виду частного синуса и косинуса:
Разделим пример на множители.
Приведём синусы к виду первого замечательного предела и получим ответ:
Задание
Найти предел функции:
Решение
При подставлении числа на место х приходим к неопределённости типа 0/0:
Преобразуем tg, приведем выражение к общему знаменателю cos x, вынесем общий множитель – sin x за скобку:
Используя следствие из первого замечательного предела, преобразим выражение и избавимся от тангенса.
Затем вновь приведем функцию к следствию первого замечательного предела и найдем ответ:
Задание
Найти предел функции:
Решение
При подстановке числа видим неопределённость.
Следовательно, искать предел будем, опираясь на правило первого замечательного предела. Для этого заменим переменную, которая будет стремиться к нулю:
Подставим в функцию:
Опираясь на свойства тригонометрии, заменим тангенс.
Зная, что предел косинуса нуля = 1, преобразуем пример и приведём к виду первого замечательного предела.
Найдём ответ.
Задание
Вычислить предел функции:
Решение
Здесь так же получим неопределённость:
Значит, введём новую переменную t:
Подставим получившиеся значения в пример и найдём предел:
