Как доказать что дуги равны
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.
§ 71. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ХОРДАМИ И ДУГАМИ.
Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.
При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.
Теорема 1. Равные дуги стя гиваются равными хордами.
Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (черт. 314).
Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.
Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.
Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (черт. 314).
Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности— точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: 
АВ = СК.
Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.
Пусть дуга АВ больше дуги СК (черт. 315).
Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.
Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора (§ 58) катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.
Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.
Пусть хорда А В больше хорды СК.
Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (черт. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:
АВ СК.
Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.
Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, АВ > СК.
Хорды и дуги
Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.
При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.
Теорема 1. Равные дуги стягиваются равными хордами.
Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (рис. 314).
Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.
Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.
Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (рис. 314).
Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: \(\breve <АВ>= \breve<СК>\).
Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.
Пусть дуга АВ больше дуги СК (рис. 315).
Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.
Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.
Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.
Пусть хорда А В больше хорды СК.
Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (рис. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:
Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.
Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, \(\breve <АВ>> \breve<СК>\).
Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами
Теорема. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Пусть хорда AB параллельна хорде СD (рис. 316).
Требуется доказать, что \(\breve
Перегнём чертёж по диаметру MN так, чтобы правая часть совпала с левой.
Тогда точка В совпадёт с точкой А, так как они симметричны относительно оси MN (AB ⊥ MN по построению и AK = KB).
Аналогично, точка D совпадёт с точкой С. Отсюда \(\breve
Свойство дуг, заключённых между касательной и параллельной ей хордой
Теорема. Дуги, заключённые между касательной и параллельной ей хордой, равны.
Пусть касательная АВ и хорда СD параллельны. Точка Е — точка касания прямой АВ с окружностью О (рис. 320).
Требуется доказать, что \(\breve
Для доказательства соединим точку касания Е с центром круга.
OE ⊥ AB, а так как СD || АВ, то OE ⊥ CD, а перпендикуляр к хорде, проведённый из центра той же окружности, делит стягиваемую ею дугу пополам.
Следовательно, \(\breve
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Теорема 1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
Пусть диаметр AB перпендикулярен к хорде CD (черт. 312). Требуется доказать, что
$$ CE = ED, \breve
Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание CD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD и ∠1 = ∠2. Но ∠1 и ∠2 суть центральные углы. Отсюда равны и соответствующие им дуги, а именно
$$ \breve
Дуги CA и ВА также равны между собой, как дополняющие равные дуги до полуокружности.
Теорема 2 (обрaтная). Диаметр, проведённый через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен к ней и делит дуги, стягиваемые хордой, пополам.
Пусть диаметр AB делит хорду CD пополам. Требуется доказать, что AB ⊥ CD,
Соединим точки С и В с центром круга. Получим равнобедренный треугольник СОD, в котором ОК является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, AB⊥CD, а отсюда (по теореме 1) следует, что
$$ \breve
Теорема 3 (обратная). Диаметр, проведённый через середину дуги, делит пополам хорду, стягивающую эту дугу, и перпендикулярен к этой хорде.
Пусть диаметр AB делит дугу СВD пополам (черт. 313). Требуется доказать, что
Соединим центр круга О с точками С и D. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ОК является биссектрисой угла СОD, так как по условию теоремы \(\breve
Равные хорды
Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.
Равные хорды равноудалены от центра окружности.
Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.
2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).
Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.
II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.
2) ∠A=∠C (по доказанному).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.
Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.
Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.
Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.
По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.
Что и требовалось доказать.
Равные хорды стягивают равные дуги.
Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,
Соединим центр окружности с концами хорд.
Рассмотрим треугольники AOB и COD
2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).
Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.
Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD
Хорды, стягивающие равны дуги, равны.
Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
Рассмотрим треугольники AOB и COD
Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.
Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.
Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
 Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
| Свойства хорд и дуг окружности |
| Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
| Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
| Теорема о бабочке |
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
| Фигура | Рисунок | Определение и свойства | ||||||||||||||||||||
| Окружность |  | |||||||||||||||||||||
| Круг | ||||||||||||||||||||||
 Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью | ||||||||||||||||||||||
| Радиус | ||||||||||||||||||||||
 Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности | ||||||||||||||||||||||
| Хорда | ||||||||||||||||||||||
 Отрезок, соединяющий две любые точки окружности | ||||||||||||||||||||||
| Диаметр | ||||||||||||||||||||||
 Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности | ||||||||||||||||||||||
| Касательная | ||||||||||||||||||||||
 Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания | ||||||||||||||||||||||
| Секущая | ||||||||||||||||||||||
 Прямая, пересекающая окружность в двух точках Свойства хорд и дуг окружности
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. | ||||||||||||||||||||||
| Диаметр, проходящий через середину хорды | ||||||||||||||||||||||
 Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | ||||||||||||||||||||||
| Равные хорды | ||||||||||||||||||||||
 Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. | ||||||||||||||||||||||
| Хорды, равноудалённые от центра окружности | ||||||||||||||||||||||
| Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | ||||||||||||||||||||||
| Две хорды разной длины | ||||||||||||||||||||||
 Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. | ||||||||||||||||||||||
| Равные дуги | ||||||||||||||||||||||
 У равных дуг равны и хорды. | ||||||||||||||||||||||
| Параллельные хорды | ||||||||||||||||||||||
 Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
| ||||||||||||||||||||||
