Прямоугольник
Частным видом параллелограмма является прямоугольник.
| Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые |
Особое свойство прямоугольника
Доказательство
Доказать: AC = DB
Доказательство:
Теорема
Доказательство
Доказательство:
Рассмотрим 
ABD иACB:
Теорема
Доказательство
Доказательство:
Противолежащие углы параллелограмма равны, 
A = C = 90 0 и В = D = 90 0
Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Прямоугольник — это одна из основ геометрии
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.
Сегодня мы расскажем об одной из основных геометрических фигур – ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ.
Название это весьма говорящее, и в нем скрыто официальное определение.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.
Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.
Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».
Прямоугольник — это.
Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы (что это?) и трапеции (что это?).
У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.
То есть выглядит это так:
Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма.
У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду. И к тому же они равны, что является условием номер два.
У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.
Ну, и логично предположить, что квадрат (как и сам прямоугольник) является частным случаем параллелограмма.
Признаки прямоугольника
Признаки геометрической фигуры – это совокупность отличий, по которым ее можно выделить среди других.
В случае с прямоугольником их всего три:
Диагонали прямоугольника
Как мы уже упомянули выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие его противоположные углы) равны между собой.
Доказать это можно с помощью известной теоремы Пифагора. Она гласит, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».
В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. И теорема Пифагора выглядит следующим образом:
Свойства прямоугольника
К свойствам прямоугольника относятся следующие утверждения:
Периметр и площадь
Для того чтобы определить периметр прямоугольника, надо просто сложить длины всех его четырех сторон.
Но с учетом того, что попарно они равны, то конечная формула может выглядеть более просто:
Площадь прямоугольника вычисляется также весьма просто. Надо лишь перемножить две его стороны:
К слову, это не единственная формула для вычисления площади. Площадь также можно получить, имея значение периметра фигуры или длину его диагонали. Но эти формулы гораздо сложнее.
Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До новых встреч на страницах нашего блога.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (5)
Главная основа геометрии — это все же треугольник. Через него можно построить любую фигуру и доказать любую теорему.
Не согласен с утверждением, что раз один угол прямой, то перед нами точно прямоугольник, всё же прямоугольник — это когда все противоположные стороны параллельны друг другу, а если только один угол прямой, то там и трапеция может быть.
Я бы сказала, что прямоугольник — это основа архитектуры. Все здания так или иначе используют эту фигуру в своем дизайне.
Вот за что я люблю прямоугольники, так за то, что площадь его легко найти, да и периметр, вот с трапецией сложнее, увы, но те же земельные участки больше трапеции, отсюда и земельные споры.
Признаки прямоугольника
Всего получено оценок: 200.
Всего получено оценок: 200.
В этой статье мы поговорим о признаках прямоугольника. Выделим основные и рассмотри каждый в отдельности.
Определения
Основная часть доказательств основывается на том, что в четырехугольнике сумма углов равна 360 градусам.
Всего насчитывается 7 признаков прямоугольника. Для того, чтобы их применять нужно, прежде всего, вспомнить определения:
Прямоугольник это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Параллелограмм это выпуклый четырехугольник, у которого все стороны попарно равны и параллельны.
Для того, чтобы определить выпуклый четырехугольник или нет нужно последовательно проводить через каждую из сторон фигуры линию. Если в каждом из 4 случаев (поскольку сторон 4) вся фигура будет оставаться по одну сторону от линии, то четырехугольник выпуклый.
Признаки
Перед нами параллелограмм. Как доказать, что он является прямоугольником? Воспользоваться одним из признаков:
В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, если один из углов – прямой, то противоположный ему угол так же прямой, а два оставшихся равны между собой. Сумма всех углов четырехугольника 360 градусов.
Два угла прямые, значит остается 360-90*2=180. Эта сумма двух равных углов, значит, каждый из оставшихся углов прямой: 180/2=90. Если все углы параллелограмма прямые, то это прямоугольник.
Этот признак работает только для параллелограммов. В случае с четырехугольниками прямой угол может быть и у прямоугольной трапеции.
Для того, чтобы вокруг четырехугольника описать окружность, необходимо, чтобы противоположные углы в сумме давали 180 градусов. Противоположные углы в параллелограмме равны, значит 180/2=90 градусов составляет каждый угол. Значит это прямоугольник.
Это существенные признаки прямоугольников. Существуют так же дополнительные, которые сводятся к уже перечисленным. И главное, помните, что в математике важны определения. Признаки прямоугольного прямоугольника – неправильная формулировка. Прямоугольник всегда был, есть и будет прямоугольным.
Что мы узнали?
Мы разобрались как можно доказать, что параллелограмм или четырехугольник является параллелограммом, вспомнили некоторые определения и ознакомились с ведущим методом определения прямоугольника – по углам.
Свойства прямоугольника – определение, основные признаки
Прямоугольник уникален своей простотой. На основе этой фигуры ученики начинают познавать основы геометрии. Поэтому в старших классах теряются, не зная основных свойств и признаков прямоугольника, напрасно считая эту фигуру излишне простой.
Прямоугольник
Определение прямоугольника известно с начальной школы: это параллелограмм, у которого все углы равны 90 градусам. Возникает вопрос: что же такое параллелограмм?
Несмотря на заковыристое название, эта фигура столь же проста, как и прямоугольник. Параллелограмм это выпуклый четырехугольник, стороны которого попарно равны и параллельны.
В определении обязательно выделять слово выпуклый. Поскольку выпуклые и невыпуклые четырехугольники четко разделяются в геометрии. Причем невыпуклые фигуры вообще не изучаются в школьном курсе математики, так как они куда более непредсказуемы в своих свойствах.
Рис. 1. Выпуклые четырехугольники
Прямоугольник это частный случай параллелограмма. При этом существуют как другие частные случаи параллелограмма, например, ромб; так и другие частные случаи прямоугольника – квадрат. Поэтому перед тем, как доказывать, что фигура является прямоугольником, нужно доказать, что она является параллелограммом.
Свойства прямоугольника
Свойства прямоугольника можно разбить на две группу: свойства параллелограмма и свойства прямоугольника.
Свойства параллелограмма:
Рис. 2. Свойства параллелограмма
Свойства прямоугольника:
Признаки прямоугольника
У прямоугольника всего три основных признака:
Обращайте внимание на то, к какой фигуре применяется признак, это имеет значение при доказательстве.
В чем разница признака и свойства? Признак это отличие по которому можно выделить фигуру среди других. Как имя у человека. Вы видите знакомого, вспоминаете его имя и сразу знаете, что от него ожидать. А вот ожидания от человека это уже свойства. Свойства можно применять только после того, как вы доказали, что перед вами та или иная фигура. А для этого доказательства нам и необходимы признаки.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое параллелограмм. Поговорили о частных случаях параллелограмма, в том числе и о самом распространенном – прямоугольнике. Выделили свойства и признаки прямоугольника. Обратили внимание на то, что часть признаков действительно для любого четырехугольника, а часть только для параллелограмма.
Какой четырёхугольник называется прямоугольником
В школьной программе на уроках геометрии приходится иметь дело с разнообразными видами четырёхугольников: ромбами, параллелограммами, прямоугольниками, трапециями, квадратами. Самыми первыми фигурами для изучения становятся прямоугольник и квадрат.
Итак, что же такое прямоугольник? Определение для 2 класса общеобразовательной школы будет выглядеть так: это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые. Несложно представить себе, как выглядит прямоугольник: это фигура с 4 прямыми углами и сторонами, попарно параллельными друг другу.
Признаки и свойства прямоугольника
Как понять, решая очередную геометрическую задачу, с каким именно четырёхугольником мы имеем дело? Существуют три основных признака, по которым можно безошибочно определить, что речь идёт именно о прямоугольнике. Назовём их:
Интересно знать: что такое выпуклый четырехугольник, его особенности и признаки.
Поскольку прямоугольник — это параллелограмм (т. е. четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами), то для него будут выполняться все его свойства и признаки.
Формулы для вычисления длины сторон
В прямоугольнике противолежащие стороны равны и взаимно параллельны. Более длинную сторону принято называть длиной (обозначается a), более короткую — шириной (обозначается b). В прямоугольнике на изображении длинами являются стороны AB и CD, а шириной — AC и B. D. Также они перпендикулярны к основаниям (т. е. являются высотами).
Это интересно: в геометрии луч — это что такое, основное понятие.
Для нахождения сторон можно воспользоваться формулами, указанными ниже. В них приняты условные обозначения: a — длина прямоугольника, b — его ширина, d — диагональ (отрезок, соединяющий вершины двух углов, лежащих друг напротив друга), S — площадь фигуры, P — периметр, α — угол между диагональю и длиной, β — острый угол, который образован обеими диагоналями. Способы нахождения длин сторон:
Периметр и площадь
Периметром четырёхугольника называют сумму длин всех его сторон. Чтобы вычислить периметр, могут использоваться следующие формулы:
Площадь — это пространство, ограниченное периметром. Три основных способа для расчёта площади:
Диагонали прямоугольника
В задачах школьного курса математики часто требуется хорошо владеть свойствами диагоналей прямоугольника. Перечислим основные из них:
Применяются следующие формулы для расчёта длины диагонали:
Определение и свойства квадрата
Квадрат — это частный случай ромба, параллелограмма или прямоугольника. Его отличие от этих фигур заключается в том, что все его углы прямые, и все четыре стороны равны. Квадрат — это правильный четырёхугольник.
Четырёхугольник называют квадратом в следующих случаях:
К свойствам квадрата относятся все ранее рассмотренные свойства, относящиеся к прямоугольнику, а также следующие:
Приведём часто используемые формулы для 
вычисления периметра, площади и элементов квадрата:
Примеры вопросов и задач
Разберём некоторые вопросы, с которыми можно столкнуться при изучении курса математики в школе, и решим несколько простых задач.
Задача 1. Как изменится площадь прямоугольника, если увеличить длину его сторон в три раза?
Решение: Обозначим площадь исходной фигуры S0, а площадь четырёхугольника с утроенной длиной сторон — S1. По формуле, рассмотренной ранее, получаем: S0 = ab. Теперь увеличим длину и ширину в 3 раза и запишем: S1= 3 a • 3 b = 9 ab. Сравнивая S0 и S1, становится очевидно, что вторая площадь больше первой в 9 раз.
Вопрос 1. Четырёхугольник с прямыми углами — это квадрат?
Решение: Из определения следует, что фигура с прямыми углами является квадратом лишь тогда, когда длины всех его сторон равны. В остальных случаях фигура является прямоугольником.
Задача 2. Диагонали прямоугольника образуют угол 60 градусов. Ширина прямоугольника — 8. Рассчитать, чему равна диагональ.
Решение: Вспомним, что диагонали точкой пересечения разделяются пополам. Таким образом, имеем дело с равнобедренным треугольником с углом при вершине, равным 60°. Так как треугольник равнобедренный, то находящиеся при основании углы тоже будут одинаковы. Путём несложных вычислений получаем, что каждый из них равен 60°. Отсюда следует, что треугольник равносторонний. Ширина, известная нам, является основанием треугольника, следовательно, половина диагонали тоже равна 8, а длина целой диагонали в два раза больше и равна 16.
Вопрос 2. У прямоугольника все стороны равны или нет?
Решение: Достаточно вспомнить, что все стороны должны быть равны у квадрата, который является частным случаем прямоугольника. Во всех остальных случаях достаточное условие — это наличие минимум 3 прямых углов. Равенство сторон не является обязательным признаком.
Задача 3. Площадь квадрата известна и равна 289. Найти радиусы вписанной и описанной окружности.
Решение: По формулам для квадрата проведём следующие расчёты:
