Как доказать что многочлен неприводим

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Неприводимость многочлена над Q

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Sonic86 27.12.2012, 07:18, всего редактировалось 1 раз.

Последний раз редактировалось Nikys 27.12.2012, 07:32, всего редактировалось 1 раз.

Или тут применяется теорема, что если и неприводим над , то неприводим и над ?

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Приводимые и неприводимые многочлены

в кольце Р[х].

Определение 1. Многочлен f(x) ¹ 0 из Р[х] называется приводимым над полем Р, если его можно представить в виде произведения многочленов выше нулевой степени, т.е. f(x) = g(x)×h(x), где cm g(x) 0,

2. f(x) не разлагается в произведение многочленов меньшей степени.

Замечание 1. Многочлены нулевой степени не входят в класс приводимых и неприводимых многочленов, а образуют свой класс, т.е. если множество натуральных чисел мы разбили на три класса:

то и множество Р[х] разбивается на три класса:

1. многочлены нулевой степени (а_iÎР);

2. приводимые многочлены;

3. неприводимые многочлены.

Замечание 2. Приводимость многочленов зависит от поля Р. (смотри прим. 1)

Также как в кольце Z, в кольце Р[х] можно доказать аналог основной теоремы арифметики.

Теорема«f(x) ¹ 0, f(x)ÎP[x], cm f(x)>0 разлагается в произведение неприводимых многочленов единственным способом, с точностью до порядка следования многочленов нулевой степени.

Доказать самостоятельно теорему и следствие из неё.

Следствие. Если f(x) = c₁p₁ a 1 (x) p₂ a 2 (x)×. × p_k a k (x),

Покажем, что задача о разложении многочлена на линейные множители (многочлены первой степени) сводится к задаче нахождения корней многочлена f(x) в поле Р.

Определение 3. Элемент aÎР называют корнем многочлена f(x), если f(a)=0.

Ответ на вопрос о существовании корней многочлена f(x) над полями C, R и Q даёт основная теорема алгебры.

Теорема 1. f(x) Î C[x], ст f(x) > 1 имеет хотя бы один корень.

Опираясь на эту теорему и определение понятия корня многочлена, можно доказать теорему 2.

Источник

Критерий неприводимости многочлена и способы построения неприводимых многочленов над конечным полем

(1)

имеет в кольце R = F[x]/ f(x) ровно p m решений.

,

где `a – класс вычетов элемента aÎF по модулю f(x). Действительно,

,

Произвольный элемент кольца R можно записать в виде

.

Элемент является решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда выполняется равенство

,

которое можно записать в виде

.

Так как , то отсюда получаем

. (3)

Для каждого i= 1,…, n-1 существует такой однозначно определенный многочлен

,

.

Тогда равенство (3) представляется в виде

. (4)

Используя изложенный выше алгоритм, можно разложить многочлен f(x) Î F[x] в случае приводимости в произведение многочленов меньшей степени. Рассмотрим два случая:

. (7)

Доказательство. Каждый НОД из правой части равенства (7) делит многочлен f(x). Поскольку многочлены h(x) – с, c Î F_q попарно взаимно простые, то взаимно простыми являются и их НОД с f(x). Тогда сомножители правой части равенства (7) делят многочлен f(x). С другой стороны, многочлен f(x) делит разность

,

а значит f(x) делит правую часть равенства (7). Так как обе части равенства (7) являются нормированными многочленами, каждый из которых делит другой, и значит, они должны совпадать.ÿ

Тогда система уравнений (6) принимает вид

. (7)

Так как rang A =2 3 + x уравнения (1) По теореме 2

Так как нетривиальных многочленов в разложении два, то они оба неприводимые над полем F_q.

,

то вероятность случайного выбора неприводимого нормированного многочлена равна

.

Существуют более быстрые способы построения неприводимых многочленов с использованием отображений s: F_q[x] ® F_q[x], t: F_q[x] ® F_q[x],определяемые формулами:

. (8)

Обозначим, через 1,…, a_s> – множество всех его ненулевых корней в поле разложения над F_q. Через 0(f) обозначим НОК мультипликативных порядков элементов a₁,…, a_s: 0(f) = НОК(Ord (a₁),…, Ord (a_s)).

Тогда справедливы теоремы.

Так как числа 2 2 – 1 = 3, 2 3 – 1 = 5, 2 5 – 1 = 31, 2 7 – 1 = 127 – простые, то последовательно построим неприводимые над полем F₂многочлены:

5. Конструкция конечного поля из p n элементов

, (1)

С каждым выражение (1) сопоставим n-ку элементов поля F

При этом элементы поля F обозначаем значками 0, 1, 2, …, p – 1. Для завершения построения поля из p n элементов укажем, как выполняются операции над n-ками вида (2). Сложение и вычитание выполняется по правилам:

Произведение элементов a, b Î F(q) находим следующим образом. Так как

, ,

то рассмотрим многочлены

, ,

и многочлен a(x)×b(x) разделим на многочлен f (x) с остатком:

где Î F[x]. Так как f (q) = 0, то полагая в равенстве (3) x = q получим

Чтобы найти частное элементов a, b Î F(q)

(4)

Так как многочлен f(x) неприводим над полем F и число q не является корнем многочлена b(x), то многочлены f(x) и b(x) взаимно простые. Тогда найдутся такие два многочлена u(x), v(x) Î F[x], что

Так как f (q) = 0, то полагая в равенстве (5) x = q получим

Используя это равенство и умножая числитель и знаменатель дроби (5) на v(q) получим

После умножения a(q)v(q) в поле F(q) найдем частное элементов a, b.

, (6)

где a₀, a₁ – элементы поля F₂ = <0, 1>. Таблицы сложения и умножения элементов поля F₂(q) выглядит следующим образом:

+	00	01	10	11	×	00	01	10	11
00	00	01	10	11	00	00	00	00	00
01	01	00	11	10	01	00	01	01	11
10	10	11	00	01	10	00	10	11	01
11	11	10	01	00	11	00	11	01	10

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Источник