Как доказать что трапеции подобны

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Подобные треугольники в трапеции

Рассмотрим базовые задачи на подобные треугольники в трапеции.

I. Точка пересечения диагоналей трапеции — вершина подобных треугольников.

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

Визуализация облегчает решение задач на подобие. Поэтому подобные треугольники в трапеции выделим разными цветами.

1) ∠AOD= ∠ COB (как вертикальные);

2) ∠DAO= ∠ BCO (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC).

Следовательно, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ.

Доказываем подобие треугольников AOD и COB. Отсюда

Выбираем нужные отношения:

Пусть BO=x см, тогда DO=28-x см. Следовательно,

BO=10 см, DO=28-10=18 см.

Известно, что О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AD ∥ BC). Найти длину отрезка BO, если AO:OC=7:6 и BD=39 см.

Аналогичн0, доказываем подобие треугольников AOD и COB и

Пусть BO=x см, тогда DO=39-x см. Таким образом,

II. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке.

Аналогично задаче I, рассмотрим треугольники AFD и BFC:

2) ∠ DAF= ∠ CBF (как соответственные углы при BC ∥ AD и секущей AF).

Следовательно, треугольники AFD и BFC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке F. Меньшее основание BC равно 4 см, BF=5 см, AB=15 см. Найти большее основание трапеции.

Доказываем, треугольники AFD и BFC — подобны.

В следующий раз рассмотрим задачи на отношение площадей подобных треугольников.

Источник

Трапеция

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Доказательство

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем параллельность.

\[MN=MM’+M’N’+N’N=\dfrac12 AB’+B’C’+\dfrac12 C’D=\] \[=\dfrac12 \left(AB’+B’C’+BC+C’D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

2) Докажем, что точки $N, O, M$ лежат на одной прямой.

$\triangle BNO\sim \triangle DMO$ по двум углам ( $\angle OBN=\angle ODM$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и $BD$ секущей; $\angle BON=\angle DOM$ как вертикальные). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Источник

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Помогите, пожалуйста
Дана трапеция ABCD (верхнее основание BC меньше AD) с заданной S=27 и (AD/BC)=4/3. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Средняя линия трапеции пересекает диагонали в точке М и N.
а) Докажите, что треугольники АВО и СОD равновелики;
б) Найдите площадь треугольника MNO.

1)

При этом где – высота трапеции.
Потому и
2) Пусть
откуда
Коэффициент подобия треугольников – Тогда и высоты этих треугольников находятся в оношении То есть равны и соответственно.
Высота треугольника

Источник

Трапеция. Иллюстрированный гид

Перед тобой лучший гид по трапеции! Только то, что нужно. Без воды.

Основные определения, формулы и свойства.

Помни о своей цели!

Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Трапеция — коротко о главном

Что такое трапеция:

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°

$ \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ $ и $ \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ $

Средняя линия трапеции:

Средняя линия трапеции ($ \displaystyle MN$) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон: $ \displaystyle AM=MB,\ \ CN=ND$.

Средняя линия параллельна основаниям: $ \displaystyle MN\parallel BC\parallel AD$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: $ \displaystyle MN=\frac<2>$.

Диагонали трапеции:

Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.

Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
($ \displaystyle BOC$ и $ \displaystyle AOD$) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: $ \displaystyle k=\frac$.

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: $ \displaystyle <~~_<\Delta AOB>>=<~~_<\Delta COD>>$.~~~~

Равнобедренная (равнобокая трапеция)

Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны: $ \displaystyle AB=CD$.

Свойства равнобедренной трапеции:

Углы при основании равны: $ \displaystyle \angle A=\angle D,\text< >\angle B=\angle C$;

Сумма противолежащих углов равна $ \displaystyle 180<>^\circ $: $ \displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180<>^\circ $.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: $ \displaystyle A<^<2>>=B<^<2>>=AD\cdot BC+A<^<2>>$.

Если трапецию можно вписать в окружность…

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $ \displaystyle <~~_>=\frac<2>\cdot h$.~~

Для справки: В нашем учебнике для подготовки к ЕГЭ по математике есть все темы планиметрии и стереометрии (да и алгебры тоже есть).

Что такое трапеция?

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?

А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)

Свойства трапеции

Итак, что ты должен знать о свойствах трапеции…

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке $ \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ $ и $ \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ $)

Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая.

Вот и получается, что $ \displaystyle \angle 1$ и $ \displaystyle \angle 2$ – внутренние односторонние углы при параллельных $ \displaystyle AD$ и $ \displaystyle BC$ и секущей $ \displaystyle AB$.

Поэтому $ \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ $.

И точно так же $ \displaystyle \angle 3$ и $ \displaystyle \angle 4$ – внутренние односторонние углы при тех же параллельных $ \displaystyle AD$ и $ \displaystyle BC$, но секущая теперь – $ \displaystyle CD$.

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Источник

Как доказать что трапеции подобны

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.<2>^<○>$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

$$ 4.<3>^<○>$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.<4>^<○>$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.<5>^<○>$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.<6>^<○>$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

$$ 4.<7>^<○>$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.<8>^<○>$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.<10>^<○>$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.<11>^<○>$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«|\|«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.<12>^<○>$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

Источник