Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник (понятие, определение):
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.
По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
Рис. 1. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника
Свойства равностороннего треугольника:
1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.
2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.
3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.
Рис. 3. Равносторонний треугольник
R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности
5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.
6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.
Рис. 4. Равносторонний треугольник
AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1
Признаки равностороннего треугольника:
– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;
– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.
Формулы равностороннего треугольника:
Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равносторонний треугольник
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Формула радиуса описанной окружности (R):
,
.
Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:
.
Формулы площади (S) равностороннего треугольника:
.
Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:
.
Общие сведения
Любое пространство можно описать размерностью. В трёхмерном измерении плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков и такого же количества точек, в которых они соединяются, называется треугольником. Отрезки называют сторонами или боковыми гранями, площадь, ограниченная ими — внутренней, а точки — вершинами. Фигура имеет 3 угла и является невырожденной.
Строгого требования к обозначениям элементов многоугольника нет. Но традиционно вершины подписывают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, а противолежащие им стороны — аналогичными строчными знаками. В качестве обозначений для углов используют греческие символы: α, β, γ. Например, если имеется треугольник ABC, у него будут углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут подписываться и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA.
В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:
Существуют правила, позволяющие утверждать о равенстве или подобии двух и более треугольников. Они считаются идентичными, то есть их параметры полностью совпадают, если 2 стороны и угол равны или все грани имеют одинаковую длину. А также фигуры будут одинаковыми, когда у них совпадают 2 стороны и угол, располагающийся напротив большего отрезка.
Признаки подобия помогают определить вид треугольника при сравнении с известным. Если 2 любых угла равны в обеих фигурах, они считаются похожими. Когда же 2 стороны многоугольника пропорциональны двум отрезкам другого, причём углы, заключённые между этими гранями, равны, такие фигуры подобны.
Особые линии и точки
Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.
В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.
Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:
Если создать зеркальное отражение треугольнику и совместить его с оригинальным, все углы попарно совместятся. Совпадут и стороны. Так как ВH — высота, она перпендикуляр. Значит, в точке H отрезок образует прямой угол с боковой гранью AC. Отсюда следует, что образованные треугольники AHB и CBH прямоугольные.
Они являются равными по общей гипотенузе и острому углу. Это следует из того, что правильный многоугольник — частный случай равнобедренного. Так как треугольники совпадают, у них одинаковые углы ABH и CBH. Причём они смежные, поэтому BH — биссектриса. В то же время точка H делит AC на 2 равных отрезка, значит, BH — медиана.
Точка, в которой пересекаются отрезки, будет центром тяжести фигуры. Её особенность в том, что она разделяет эту линию на 2 части в отношении 2 к 1, если считать от угла. Кроме этого, из-за равенства медианы и биссектрисы эта точка будет и ортоцентром.
Основные формулы
Для каждого треугольника существует набор формул, с помощью которых можно определить его элементы. Чаще всего приходится выяснять длины сторон, площадь, высоты и периметр. При этом если известны боковые грани, можно найти практически любые остальные параметры.
Вокруг правильной фигуры можно описать круг, причём окружность можно и вписать в середину. Что интересно, их центры совпадут между собой и с местом пересечения высот. В этом случае радиус внешнего круга равняется R = (a * √3) / 3 = a / 2 * sin (a), а внутреннего: r = (a * √3) / 6 = R / 2. Чтобы найти высоту, зная радиус, используют выражение: h = (3 *R) / 2. Кроме этой формулы, довольно часто применяют равенство, связывающее сторону и перпендикуляр: h = (a * √3) / 2.
Доказательство верности формулы для нахождения радиуса вписанной окружности можно построить исходя из выражения, справедливого к равнобедренной фигуре: r = b / 2 √((2 a — b) / (2 a + b)). Так как стороны равны, то a = b. Получается, что r = a / 2 √(2a — a) / (2a + a) = (a / 2) * √(1 / 3) = a / (2 * √3) = (a √3) / 6.
Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:
Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.
Решение задач
Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:
Проверить правильность решения, возможно, используя онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые предлагают бесплатно вычислить элементы правильной фигуры. При этом от пользователя требуется лишь внести в специальную форму исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать».
Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.
Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной
Что такое равносторонний треугольник, площадь равносторонних треугольников, равносторонние треугольники примеры.
Если все углы треугольника равны то, то это равносторонний треугольник и все стороны у такого треугольника равны.
Всё о равностороннем треугольнике!
Что такое равносторонний треугольник
В равностороннем треугольнике все углы равны аксиома.
На странице виды треугольников, мы упоминали о таком виде треугольников, как равносторонний треугольник.
Что из себя представляет равносторонний треугольник!?
Из самого названия видно, что все стороны данного треугольника равны:
Равносторонний треугольник называют еще правильным.
Какой первый интересный вопрос у вас возникает при виде равностороннего треугольника!?
Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?
Нет!? Не угадал. жаль. 
Но тем не менее, раз уж вопрос задан, то узнать сколько градусов составляет угол разностороннего треугольника :
180° разделить на 3.
Поскольку у нас треугольник равносторонний. то все углы у такого треугольника будут равны.
Равносторонний треугольник максимальный угол
Высота равностороннего треугольника
Формула высоты равностороннего треугольника, если сторону выразить через символ «a», то формула звучит так :
Высота равностороннего треугольника формула через сторону
Если мы опустим высоту из верхнего угла, то это будет биссектрисой, которая в данном случае не только разделит угол пополам, но и сторону противолежащую.
И если верхний угол будет поделен на 2, то он будет равен :
И если мы прибавим 30 и например оставшийся справа 60, то получим 60 + 30 = 90.
И далее мы можем получить угол между высотой «h» и стороной «a».
И мы получим прямоугольный треугольник, в котором все стороны обозначены.
. и отсюда мы уже можем вывести по теореме пифагора
c² = a² + b² a² = a² 2² + h² = a² 4 + h²
Обе стороны умножим на 4, чтобы избавиться от 4 в дроби :
высоту оставляем одну слева и получаем:
И осталось извлечь квадратный корень из правой стороны.
И далее получаем 
Площадь равностороннего треугольника
Какая формула для площади равностороннего треугольника!?
Площадь равностороннего треугольника равна : корень из 3 деленное на 4, умноженное на сторону в квадрате:
Выше мы уже доказали, чему равна высота. возьмем одну сторону треугольника на высоту h.
Вторая сторона будет равна а/2
И далее нам нужно умножить высоту на сторону, поделив на 2. По правилу вычисления площади прямоугольного треугольника.
Мы получаем предварительный результат:
И поскольку у нас два таких треугольника, то правую сторону надо умножить на 2, две двойки сокращаются.
И далее заменим высоту из выше пройденного пункта:
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник
Или вам может встретиться вторая формула вписанной окружности в равносторонний треугольник :
Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?
Сможете доказать самостоятельно выше озвученный тезис?
Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
Соотношение радиуса вписанной и описанной окружностей 1 : 2(на момент написания данной страницу мы еще это не прошли на сайте)
Отсюда мы получаем, что :
Подставляем ранее выведенную высоту
r = 1 3 * √ 3 2 a = √ 3 6 a
Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
Не будем здесь доказывать, что два треугольника «ABM» и «AOK» подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент «Х».
Из этого мы можем создать зависимость:
«AK» и «BM» равны одному и тому же а/2.
Далее мы можем записать эту зависимость как :
Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:
Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :
В последней дроби заменяем «h» на наши значение из пункта 2 и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)
r = а 2 * а 2 * 1 h = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а
r = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а
И в итоге получаем :
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
С описанной окружностью доказывается аналогично, лишь с той разницей, что радиус больше в два раза:
Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.
Докажите, что вписанный квадрат в равносторонний треугольник делит одним углом, сторону треугольника пополам или не делит.
Решение задачи :
Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 :
То стороны у этого треугольника будут равны между собой.
И одна из сторон совпадает со стороной квадрата.
Поэтому сторона » AB » равна стороне квадрата » BC » и стороне » BE «
Но » BE » не равна » BD «. Катет всегда будет меньше гипотенузы.
Если » BE » не равно » BD «, то » BD » не равно » AB «, что означает, что точка B не находится в середине отрезка » AD «.
Отсюда мы делаем вывод :
Угол вписанного квадрата не делит сторону равностороннего треугольника пополам!
Периметр равностороннего треугольника формула
Напишите «формулу периметра равностороннего треугольника»:
Обозначается периметр буквой P
Поскольку все стороны у равностороннего треугольника равны,
то периметр равностороннего треугольника будет равен :
3 умноженное на сторону а треугольника:
Формула периметра равностороннего треугольника
Конечно, можно еще представить данную формулу таким образом:
Но такого написания, я никогда не встречал.
Задача : найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.
Известна сторона «CB» вписанного квадрата, требуется найти высоту равностороннего треугольника «AM».
В пункте №6 и подпункте 4, мы вывели, что :
Сторона «AB» равна стороне квадрата «BC» и стороне «BE»
Поэтому, высота «AN» маленького треугольника будет равна :
И далее мы уже можем вывести высоту треугольника :
Задача : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
Известна площадь равностороннего треугольника «S», требуется узнать его сторону «а».
Я уже вывел площадь равностороннего треугольника в этом пункте, там же было доказательство!
Нам понадобится данная формула для решения выше озвученной задачи!
Нам всего-то навсего нужно выразить сторону «а» через «S»
Умножаем обе стороны на
Справа, в выражении дробь сократится, а слева появится данная дробь в перевернутом виде:
Далее, чтобы получить сторону через площадь, нам нужно извлечь корень :
Преобразуем еще раз:
Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
Сторона равностороннего треугольника равна корню из площади умноженное на 2, и деленное на корень 4 степени из 3.
Задача : если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний
Повстречал вот такой поисковый запрос :
«если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний«
Данную формулировку можно перефразировать и будет выглядеть совсем по другому:
Докажите, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности
А почему, вы узнаете дальше.
Для доказательства данного утверждения нам понадобится :
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь :
Как вы наверное знаете, что при делении одной дроби н вторую существует правило, по которому вторую дробь нужно перевернуть и знак будет умножить.
После этого, смотрим, что можно сократить
Сокращаются квадратный корень из 3.
6 и 3, сокращаются только на 3. Сверху остается 2.
