Линейная зависимость и независимость векторов трехмерного пространства. Пространственный базис и аффинная система координат
Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Я постарался минимизировать конспект по теории, поскольку львиная доля информации уже разжёвана. Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.
Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний.
И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец. Это будут векторы 
, они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов! Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =)
Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являютсякомпланарными и, совершенно очевидно, что базиса трёхмерного пространства не создают.
Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)).
Определение: три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.
Компланарные векторы всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы 
не коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом: 
(а почему – легко догадаться по материалам предыдущего раздела).
Справедливо и обратное утверждение:три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга. И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.
Определение: Базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов 
, взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису 
, где 
– координаты вектора 
в данном базисе
Напоминаю, также можно сказать, что вектор представлен в виде линейной комбинациибазисных векторов.
Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки и любых трёх линейно независимых векторов:
Точка 
пространства, которая называетсяначалом координат, и некомпланарныевекторы , взятые в определённом порядке, задаютаффинную систему координат трёхмерного пространства: 
Конечно, координатная сетка «косая» и малоудобная, но, тем не менее, построенная система координат позволяет нам однозначно определить координаты любого вектора и координатной любой точки пространства. Аналогично плоскости, в аффинной системе координат пространства не будут работать некоторые формулы, о которых я уже упоминал.
Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координат, как все догадываются, является прямоугольная система координат пространства:
Точка пространства, которая называетсяначалом координат, иортонормированныйбазис 
задаютдекартову прямоугольную систему координат пространства. Знакомая картинка: 
Перед тем, как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем информацию:
Для трёх векторов пространства эквиваленты следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не компланарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
Противоположные высказывания, думаю, понятны.
Три вектора пространства 
компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: 
.
Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (значение определителя от этого не изменится – см. свойства определителей). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач.
Тем читателям, которые немножко позабыли методы расчета определителей, а может и вообще слабо в них ориентируются, рекомендую один из моих самых старых уроков: Как вычислить определитель?
Проверить, образуют ли базис трёхмерного пространства следующие векторы:
а) 
б) 
Решение: Фактически всё решение сводится к вычислению определителя.
а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов 
(определитель раскрыт по первой строке):
, значит, векторы линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы образуют базис
б) Это пункт для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Встречаются и творческие задачи:
При каком значении параметра 
векторы 
будут компланарны?
Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю: 
По существу, требуется решить уравнение с определителем. Налетаем на нули как коршуны на тушканчиков – определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке и сразу же избавиться от минусов: 
Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению: 
Ответ: при 
Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение в исходный определитель и убедиться, что 
, раскрыв его заново.
В заключение рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая носит больше алгебраический характер и традиционно включается в курс линейной алгебры. Она настолько распространена, что заслуживает отдельного топика:
Доказать что векторы образуют базис
Доказать, что векторы образуют базис
Помогите,пожалуйста, решить. Доказать,что векторы a, b, c, образуют базис, и найти координаты.
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и разложить вектор d по этому базису.
Доказать, что данные векторы образуют базис, и найти координаты вектора D
Даны векторы. a(10:3:1) b(1:4:2) c(3:9:2) d(19:30:7) показать что они образуют базис и найти.
Доказать что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора b в этом базисе
Доказать что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе Помагите.
Решение
Чтобы доказать тот факт, что три вектора образуют базис, достаточно доказать их линейную независимость. В свою очередь для этого достаточно доказать, что определитель, приведенный ниже, не равен нулю.
Вычитая из первого столбца сумму второго и третьего столбца, получим:
раскладывая последний определитель по элементам 1-го столбца, получаем, что наш определитель равен 10*(4*3+1)=130
Определитель не равен нулю, значит вектора линейно-независимы. А поскольку координат три и векторов три, то они образуют базис.
Показать, что векторы образуют базис.
Помогите плиз, в геометрии полный 0 =( Все остальные задания сделал, а это вообще не могу.
Показать, что векторы образуют базис и найти в нем координаты данного вектора
Показать, что векторы a, b,c образуют базис и найти в нем координаты вектора m. а=(2;-2;1).
Даны векторы а(2;7;3) b(3;1;8) с(2;-7;4) d(16;14;27). Показать, что векторы a b c образуют базис и н
Даны векторы а(2;7;3) b(3;1;8) с(2;-7;4) d(16;14;27). Показать, что векторы a b c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
Все ответы
Даны векторы а(2;7;3) b(3;1;8) с(2;-7;4) d(16;14;27). Показать, что векторы a b c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
Прямой ход метода Гаусса закончился, приступаем к обратному ходу.
Выбираем за ведущий элемент \(a_ <33>=1\),
умножим третью строку на 9 и сложим со второй строкой
$$= \left(\begin
Разделим строку 2 на 4, получаем
$$= \left(\begin
чтобы получить единичную матрицу осталось вычесть из первой строки вторую, умноженную на 5
$$= \left(\begin
и вычесть из первой строки третью строку, умноженную на 2
$$= \left(\begin
Ответ: координаты вектора \(d\) в базисе \((a;b;c)\) \(x =\left(\begin
Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты 4-го вектора в данном базисе
Даны векторы 
. Показать, что векторы 
образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора 
в этом базисе.
Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы:
Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.
! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцыопределителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.
Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы 
образуют базис, то любой вектор можно единственным способом разложить по данному базису: , где – координаты вектора в базисе .
Поскольку наши векторы образуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор 
можно единственным образом разложить по данному базису:
, где 
– координаты вектора в базисе 
.
По условию и требуется найти координаты .
Для удобства объяснения поменяю части местами: 
. В целях нахождения следует расписать данное равенство покоординатно: 
По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя 
, в правую часть записаны координаты вектора 
.
Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают поформулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.
Главный определитель системы уже найден:
, значит, система имеет единственное решение.
Дальнейшее – дело техники: 
Таким образом:
– разложение вектора по базису 
.
Ответ: 
Как я уже отмечал, задача носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, абстрактные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу, решение будет намного проще. Однако на практике мне такое задание ни разу не встречалось, именно поэтому я его пропустил в предыдущем разделе.
Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения:
Даны векторы 
. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.
Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.
Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра. Собственно, о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.
Любите векторы, и векторы полюбят вас!
Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов:
Ответ: при 
Пример 4: Доказательство: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
1) Проверим параллельность противоположных сторон 
и 
.
Найдём векторы:
Вычислим определитель, составленный из координат векторов 
:
, значит, данные векторы не коллинеарны, и стороны 
не параллельны.
2) Проверим параллельность противоположных сторон 
и 
.
Найдём векторы:
Вычислим определитель, составленный из координат векторов 
:
, значит, данные векторы коллинеарны, и 
.
Вывод: Две стороны четырёхугольника 
параллельны, а две другие стороны не параллельны, значит, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.
Пример 5: Решение:
б) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:
Система не имеет решения, значит, векторы 
не коллинеарны.
Более простое оформление:
– вторая и третья координаты не пропорциональны, значит, векторы не коллинеарны.
Ответ: векторы не коллинеарны.
в) Исследуем на коллинеарность векторы 
. Составим систему:
Соответствующие координаты векторов пропорциональны, значит 
Вот здесь как раз не проходит «пижонский» метод оформления.
Ответ:
Пример 6: Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов 
(определитель раскрыт по первой строке):
, значит, векторы линейно зависимы и не образуют базиса трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы не образуют базиса
Пример 9:Решение:Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
Таким образом, векторы линейно независимы и образуют базис.
Представим вектор 
в виде линейной комбинации базисных векторов:
Покоординатно:
Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.
Ответ: Векторы 
образуют базис, 
Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
Как можно отблагодарить автора?
Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов
На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов. Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)
Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урокаВекторы для чайников, чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах
Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!
