22. Простейшие свойства векторного пространства
Рассмотрим те свойства векторного пространства, которые вытекают из его определения.
Свойство 1. В векторном пространстве V существует единственный нулевой вектор 0.
Доказательство. Допустим противное, что в V имеется два нулевых вектора 0 И 
Тогда по аксиомам 3° и 1° имеем
0 = 0 + = + 0 = .
Свойство 2. В векторном пространстве для любого вектора 
существует единственный противоположный вектор —.
Доказательство. См. доказательство теоремы 7 из §1.
Свойство 6. Для любых векторов 
, если A + B = А + С, то B = С.
Свойство 7. Для любых векторов 
Если A + B = А, то B = 0.
Доказательство. Следует из свойства 6.
Свойство 8. Для любого вектора 
Имеем 0×A = 0.
Доказательство. По аксиомам 8° и 6° имеем
Отсюда по свойству 7 0×A = 0.
Свойство 9. Для любого числа Имеем a×0 = 0.
Доказательство. По аксиоме 5° имеем
Отсюда по свойству 7 a×0 = 0.
Свойство 10. Пусть , 
. a×А = 0 Тогда и только тогда, когда a=0 Или А = 0.
Противоречие. Свойство доказано.
Свойство 11. Пусть , . Тогда 
И 
Доказательство. По аксиоме 6° и свойству 8 имеем
Отсюда в силу единственности противоположного вектора получаем требуемые равенства.
Свойство 12. Для любых , 
, Если 
Доказательство. По определению разности, аксиоме 6 и свойству 11 имеем
Аналогичным образом доказываются следующие три свойства, которые рекомендуется доказать читателю самостоятельно.
Свойство 13. Для любых 
Имеем 
Свойство 14. Для любых 
,Если 
, То A = B.
Свойство 15. Для любых 
, Если 
, То 
Нулевой вектор
Нулевой вектор (нуль-вектор) — вектор, начало которого совпадает с его концом. Нулевой вектор имеет норму 0 и обозначается 
или 
.
Нулевой вектор определяет тождественное движение пространства, при котором каждая точка пространства переходит в себя.
С нулевым вектором не связывают никакого направления в пространстве. Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору. Можно считать, что нулевой вектор одновременно параллелен и перпендикулярен любому вектору пространства (легко выводится из определения).
Все координаты нулевого вектора в любой аффинной системе координат равны нулю.
С точки зрения линейной алгебры, в линейном пространстве должен существовать специальный вектор 
, обладающий следующими свойствами:
Для любого вещественного числа 
Для всякого вектора 
, найдется такой вектор 
, что:
.
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Нулевой вектор» в других словарях:
нулевой вектор — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN zero vector … Справочник технического переводчика
нулевой вектор — nulinis vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. null vector; zero vector vok. Nullvektor, m rus. нулевой вектор, m; нуль вектор, m pranc. vecteur nul, m; vecteur zéro, m … Fizikos terminų žodynas
Вектор (математика) — Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор … Википедия
Вектор — Вектор многозначный термин; величина, характеризующаяся размером и направлением. В Викисловаре есть статья «вектор» … Википедия
Вектор (значения) — Вектор: Содержание 1 В биологии 2 В информатике 3 В математике 4 В физике … Википедия
Вектор (геометрия) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых точка A называется его началом, а вторая B его концом. Содержание 1 Определение … Википедия
Вектор (Геометрические представления) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых точка A называется его началом, а вторая B его концом. Содержание 1 Определение … Википедия
ВЕКТОР — В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… … Энциклопедия Кольера
вектор — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=5044] вектор Упорядоченный набор из некоторого количества независимых действительных чисел (таково одно из многих определений — то, которое принято в экономико математических… … Справочник технического переводчика
Вектор — [vector] упорядоченный набор из некоторого количества независимых действительных чисел (таково одно из многих определений то, которое принято в экономико математических методах). Например, суточный план цеха может быть записан 4 мерным вектором… … Экономико-математический словарь
